【数学・中1】2学期期末テスト対策!~比例・反比例~

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今回は2学期期末テスト対策として数学・中1の「比例・反比例」についてのポイントを解説していこうと思います!

1次方程式の利用についてはこちらの記事を参考にしてください。

⇒【数学・中1】2学期期末テスト対策!~1次方程式の利用~

是非テスト前最後の追い込みとして、または全然手をつけられてなくてやばい人は見ておいてくださいね!

<中1・数学>2学期期末テスト出題範囲

学校の進捗によって多少ばらつきがあると思いますが、

2学期末は多くの学校で「1次方程式の利用」~「比例と反比例」になると予想されます。

今回お話しする比例と反比例は1次関数のグラフ、2次関数のグラフの元になるものです。

習ったことがそのまま土台になるので、しっかりと勉強しておきましょう!

 

テスト勉強で大切なことは「分別」・「理解」・「練習」です。

テスト勉強の基本については別記事でまとめているので、うまく点数が取れない人は是非見てみてくださいね。

⇒テストで点をとるための3つのポイント

⇒テストで点を取るための5つの心得

勉強する意味が分からない・・・。そもそもやる気が出ないという人は勉強する理由についてまとめた記事を見てみてください!

⇒勉強しないとどうなる?やる気の出ない人必読!

⇒やる気が無い人必見!やる気を出す3つの方法とは?

 

では比例・反比例のポイントを解説していきます!

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変数を使った式に慣れよう!

そもそも中1で今の範囲が苦手だなと思っている人は、xやyの文字(変数という)が入ってくると嫌な気持ちになっていると思います。

まずはこの苦手意識をとっぱらいましょう

比例について簡単に例を紹介します。

 

1個50円の消しゴムをx個買うと、合計金額はy円である。

 

こんな感じになります。

変数(xやyの文字のこと)を使うとどう式にすればいいか分からなくなっている人は多いと思います。

ポイントはxやyが出てきたら簡単な数字を入れて見ることです。

たとえばこんな問題だったらどうでしょう?

 

1個50円の消しゴムを2個買うと合計金額はいくらですか?

 

これは小学校2年生のかけ算の問題です。

1個50円の消しゴムが2つあるので、50円×2個=100円 ですよね。

 

消しゴムの個数をx、合計金額をyとしていたので、変数を使ってあらわすと、

50x=yとなります。

 

比例の一般式と呼ばれる式がy=axなので、これに合わせて書くと、

y=50x

となります。

 

変数を使った問題を式に直す時は1や2などの簡単な数に置き換えてみること。

yは結果や合計になることが多いので、どうしても数字に置き換えることが難しい人は、一旦「y=」と書き始めてからxだけ簡単な数字にしましょう。

比例・反比例は一般式と代入が最大のポイント

比例xが2倍、3倍になったら、yも同じように2倍、3倍となる性質を持っています。

反比例xが2倍、3倍になったら、yはその逆数の1/2倍、1/3倍となる性質を持っています。(「/」は分数の意味です。)

 

比例の一般式は「y=ax」

反比例の一般式は「y=a/x」

 

となります。

まずはこれをしっかり覚えましょう。

 

そして、式の中の「a」を比例定数と呼びます。

先ほどの消しゴム一個50円の時は、50円ずつ増えますよね。

xが2になったり、3になったり色んな数字が入る中、そのxに掛ける50という数字は一定です。

この比例定数aを求めて、比例・反比例の式を導いていくことが求められています。

 

その際のポイントは代入です。

例えばこんな問題があるとします。

yはxに比例していているとき、x=3、y=18である。yをxの式で表しなさい。

 

比例という言葉が出てきたらすぐに「y=ax」を書きましょう。

そして、与えられている情報を代入してみるのです。

代入してみると、

18=a×3 となります。

3a=18より、a=6ということになります。

ここで終わってはyをxの式で表すことにはなりません。

このa=6を、y=axに代入します。

y=6x

これが最終的な正解となります。

 

反比例の場合も同様で、比例の時とはちがい、「yはxに反比例し」というワードが出てきます

その時はすぐに「y=a/x」を思い浮かべて、与えられている情報を代入していくとよいでしょう。

 

変域と不等号について

文章問題では現実的な数字を扱うので、想定できる数字にある程度制限があります。

それが変域です。

変域とは変化する範囲のこと。

例えば、水槽に水をためていく時などは、入っていない=0の状態から満タン=水槽の容量までしか変化しようがありません。

そうすると、一定量ずつ溜まっていくとしたら、時間だって0から満タンになるまでの時間しか考えられないですよね。

これが変域です。

 

そしてその変域を表現するために、覚えなくてはならないのが不等号です。

たとえば、

xは5以上 ⇒ x≧5

xは5以下 ⇒ x≦5

xは5より大きい ⇒ x>5

xは5より小さい(未満) ⇒ x<5

というふうに表現します。

イコールの付いている不等号は、5を含みます。

しかし、イコールが付いていない場合は5は含んではいけません。

 

これを変域、範囲をあらわすものとして応用すると、

xは0以上5未満 ⇒ 0≦x<5

というふうに表現できるわけです。

慣れるまでは上の不等号対応表を見ながら、言葉を良く見てあてはまる不等号を選ぶ練習をしましょう。

 

座標とグラフの書き方をマスターしよう!

比例のグラフは原点を通る直線で、反比例のグラフは双曲線です。

小学校の時にも登場していたと思いますが、中学校ではもうすこし突っ込んでやることになっています。

まず名前からです。

まず縦軸がy軸横軸をx軸といいます。

そしてy軸、x軸を合わせて座標軸といいます。

そしてOと書かれているところを原点といいます。

xが3、yが4のところに赤丸の点があると思うのですが、これが座標です

座標は簡単に言うと点の情報。

(3,4)というふうに、(xの情報,yの情報)の順番で書いていきます。

かならずxの情報からですよ!

注意点としてはかっこの中にある点は「カンマ( , )」です。

これを「ピリオド(.)読点(、)」にしてしまうと、小数のように見えるため駄目です。

 

座標を見るときは必ず、xから見ていくように意識していきましょう。

 

比例のグラフの書き方は式に分かっている情報を代入して、点の情報を1つ見つけるだけ。

必ず原点を通るので、原点に点を打ち、あとひとつの点の情報をみつけて直線を描けば完成です。

 

反比例の場合はxに順番に1、2、3、-1、-2、-3・・・を代入していって求めたyを表にし、それぞれのxのときのyの情報を座標表に描いていって繋ぐだけ。

グラフに関しては座標の見方だけ分かっていれば後は式に代入していくことで作れます。

ただし、xに0を代入することは出来ません。

これを説明すると話が長くなるのですが、割る側に0を置くと無限大となってしまい、中学数学で扱える範囲を超えてしまうため禁止しています。

反比例は原点やx軸、y軸上は通らないので当たらないように注意して書きましょう。

まとめ

・xやyの変数が分かりづらい時は1や2など簡単な数字を入れる

・比例の一般式は「y=ax」

・反比例の一般式は「y=a/x」

・比例定数aは与えられたxとyを一般式に代入して求める

・以下、以上は≧、≦で=をつける。より大きい、より小さい、未満は、>、<で=はつけない

・座標はxから先に書き、カンマで区切る

・比例のグラフは原点と一つの点の情報を結ぶだけ

・反比例のグラフは式のxにマイナス(-1、-2、-3など)、プラス側(1、2、3)にいくつか代入しyを求めて点を打って描こう

・反比例のグラフは原点、x軸、y軸に当たらないように

 

以上のポイントを押さえた上で、教科書の問題やワーク・問題集などを解いていきましょう。

少しでも理解の助けになれば幸いです。

 

最後まで読んで頂きありがとうございました!

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ABOUTこの記事をかいた人

平成元年生まれ。現在高知県の田舎にあるこだま進学塾を運営中。塾長として地域の子供たちに勉強を教えている。趣味はギター(弾き語り)、バドミントン、漫画、ゲーム。こだま学び舎プロジェクト(KMP)の管理人。