【数学・中1】2学期期末テスト対策!~1次方程式の利用~

みなさんこんにちは!

高知県にある学習塾「こだま進学塾」が運営するこだま学び舎プロジェクト(KMP)。

塾長のPoeruです!

 

いよいよ冬の気配が濃くなってきて、

私が住んでいる梼原町では最低気温が氷点下になったり・・・。(涙)

中々厳しい寒さに見舞われています。

雪だるまのように服を着ていますがそれでも寒い!

11月中旬でこれでは先が思いやられます orz

 

さて、11月下旬、12月上旬にかけて多くの学校が2学期の期末テストが行われる予定だと思います。

そこで今回は、数学中1の2学期期末分に該当する範囲のポイントを解説しようと思います!

 

<中1・数学>2学期期末テスト出題範囲

学校の進捗によって多少ばらつきがあると思いますが、

2学期末は多くの学校で「1次方程式の利用」~「比例と反比例」になると予想されます。

2学期中間では中学校数学で初めて方程式が出てきたと思います。

移項方程式の解き方を中心に学んだと思いますが、2学期末ではそれを利用して実際のシチュエーションにおける利用方法などを学びます。

比例と反比例については、比例・反比例の基本と一般式、式の求め方やグラフの書き方を学びます。

比例と反比例についての解説記事はこちらです。

⇒【数学・中1】2学期期末テスト対策!~比例・反比例~

 

テスト勉強で大切なことは「分別」・「理解」・「練習」です。

テスト勉強の基本については別記事でまとめているので、うまく点数が取れない人は是非見てみてくださいね。

⇒テストで点をとるための3つのポイント

⇒テストで点を取るための5つの心得

 

この記事では1次方程式の利用についてのポイントを解説します!

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1次方程式の利用とは?

1次方程式の利用は、1次方程式の文章問題です。

1次方程式の考え方を使って、分からない数字を求めることが出来ます。

 

例えば、600円だけお小遣いをもらって、全部で7つのお菓子を買っていいものとします。

1つ80円のガムと1つ100円のチョコがあり、必ずそれぞれ一つ以上は購入するという条件において、ちょうど600円になるように買い物するには、ガムとチョコは何個ずつ買えばいいかを考えたいときなどに使います。

やや強引な気はしますが、1次関数はこういうシチュエーションで使うことが出来ます。

 

ちなみに、答えはガムが5個、チョコが2個です。

<解き方>

ガムをxと置くことで、チョコは7-xと表すことができます。

1個50円のガムがx個あるので80x、1個100円のチョコが(7-x)個あるので100(7-x)とそれぞれ表すことができます。

それらを足し合わせた合計金額が600円になるので、80x+100(7-x)=600 となり、

80x+700-100x=600

80x-100x=600-700

-20x=-100

x=5

ということになります。

ガムの個数をxとおいたので、ガムの個数が5個、チョコは残りの2個ということになります。

 

他にも速さの問題、割合の問題、過不足の問題、定価・割引の問題など多くのパターンがあります。

 

1次方程式の利用のポイント!

1次方程式利用のポイントは次の通りです。

・分からないものをxと置いてみる

・xの代わりに1や2など簡単な数字を入れて考えてみる

・何の情報で式を作ろうとしているのか考える

・左辺と右辺が等しくなるように考える

それぞれ詳しく説明していきます。

分からないものをxと置いてみる

今知りたい情報をxと置く。

これが大前提であり、非常に重要な作業です。

先ほどのガムとチョコの問題も、それぞれの個数が知りたいから、「とりあえず」ガムの個数をxと置いてみました。

実はチョコの個数をxと置いても計算はできます。

xと置くと、そのxを使って式を組み立てることになります。

例えばガムの個数をx個とした場合、合計の個数は7個と決まっているので、必然的にチョコは7-xと表現できます。

とにかく知りたい情報の一つをxと置いてみる。

それがスタートラインです。

xの代わりに1や2など簡単な数字を入れて考えてみる

式を作ってみたものの、それが合ってるかわからない。

それならば、1や2など簡単な数字をxに入れてみましょう。

例えばチョコの個数を7-xと表してみました。

仮にガムの個数が2個だったら、チョコの個数は5個ですよね。

つまりxに2を入れてみると、ちゃんと5になるということは、正しいということなんです。

分からなくなりそうになったら簡単な数字を入れてみる。

それが重要です。

何の情報で式を作ろうとしているのか考える

例えばさっきはガムの「個数」をxと置きました。

そして80円のガムがx個を80xと表しました。

80xとは「個数」でしょうか?それとも「金額」でしょうか。

正解は「金額」ですよね!

 

大切なのはxを使って表現したものが「何の情報」になったのかをしっかり把握しておくことです。

例えば単位も重要な情報ですよね。

計算式の時には単位を書かず、数字だけで計算して、最後に単位を付けるのが主流ですが、間違わないようにするためには最初に作った式に単位を書きこんでおくと間違いが減ります。

ちなみに、金額+金額=金額ですよね?

あやまって金額×金額=金額としたらおかしくなっているのに気づきますか?

先ほどの簡単な数字を入れてみるというポイントにならって、1000円を入れてみます。

1000円+1000円=2000円ですよね。

足し算の場合だと話は分かります。

でも間違えてかけ算にしてしまうと1000円×1000円=1000000円(百万円)になってしまいます。

1000円の手袋と1000円の靴下を買いましたというシチュエーションで、合計金額を求めるとき、変数xだけで考えるとこのミスに気づかない場合があります。

 

例えば、さっきの問題だと、

80x+100(7-x)=600ですが、これは80xが金額、100(7-x)も金額、600も金額ですよね。

そうすると左辺と右辺の単位の関係が成り立っていることが分かります。

文章問題は具体的な事象を扱っているため、今何の情報を扱っているのかを明確にすると、分かりやすくなります。

左辺と右辺が等しくなるように考える

単位や何の情報を今扱っているのかを明確にすることの重要性について話してきましたが、方程式は左辺と右辺の情報や単位が等しくなる必要があります。

「1たす1は2」というように、記号で表すと「1+1⇒2」という感じに「=」「⇒」のような意味合いでイメージしている人が多いように感じます。

「=」の本来の意味は左辺と右辺が等しいという意味です。

計算した結果を出すことが多いのですが、その結果が合ってる合ってないという判定だけをするのではなく、左の意味も量や数字も、右の意味も量や数字も同じになるように考えることが重要です。

 

たとえば左の方が20少ないという情報を得た時、式では「(左ー20)= 右 」のように書きたくなります。

でも「 左 < 右 」とすでになっている状態なのに、さらに左から20を引いてしまうとさらに少なくなりますよね。

数字で置き換えると、「 20 < 40 」みたいな状態ですよね。

「(左ー20)= 右 」だと「20-20 = 40」となってしまうので、左辺は0で、右辺が40となり、ますます差が広がってしまいます。

左が20少ないという情報を得て、方程式を立てる時は、「 左 = (右ー20) 」としてあげなくてはなりません。

数字に戻すと「 20 = (40-20)」という感じになり、左辺も20、右辺も20となりますよね。

 

何もしていない状態で左辺と右辺を=で繋ごうとすると、左辺が少ないから、右辺をその少ない分だけ引いてあげたらバランスが取れるよね?という感じです。

簡単な数字で置き換えてみて、どちらから引かないといけないのかをしっかりと見極めれるようになりましょう。

 

1次方程式の解き方で詰まっている人必見!

1次方程式の利用は、そもそも1次方程式の解き方が理解できてる前提で進みます。

そのため、前回の中間テストで点数が悪かった人で、対策をしていないと、さらに迷宮入りしてしまいます。

そんな人のために、少しだけ1次方程式の解き方についても触れておきたいと思います。

ポイントは、以下の通りです。

・項の区切り方を覚える

・マイナスの分配法則に気をつける

項の区切り方を覚える

例えば、「3x=6」の時は、x=2と簡単に答えられるのですが、

「3x=2」の時は「x=2-3」としてしまう人が居ます。

この現象は、3xの3が何算でxとくっついているのかということを理解できていない場合に起こります。

答えはx=2/3(3分の2)となるのですが、分数になるとおかしいと迷ってしまうからか、かけ算でくっついている3の移項を、足し算でくっついていると勘違いしてしまうようです。

 

1次方程式は左辺も右辺も項がたくさんある多項式になることが多いです。

「3x」これは単項式。項がひとつだけ。

「-2x+5」これは多項式。項が2つあります。

「5x-3(2+3x)」これは計算した後「-4x-6」となるので多項式で項は2つです。

途中の状態だと「5x-6-9x」で項は3つあります。

どこからどこまでが項なの?

となりますよね。

 

項の区切りは「+やーの左側」にあります。

「5x-6-9x」の場合、「-」は2個ありますよね。

その左側で区切るので、「5x|ー6|ー9x 」と区切ることが出来ます。

となると「5x」、「-6」、「-9x」となり、項は3つあるということになります。

 

そして、一つの項は必ずかけ算か割り算で出来ています。

足し算や引き算が含まれることはありません。

-6の「ー」は引き算の「ひく」ではなく、「マイナス」の意味です。

「-9x」は「-9かけるx」という意味です。

 

このことを意識して、xがついている項を左辺に、他を右辺に持って行きます。

その後xについている邪魔なものを全部右辺に移項すればOKです。

左辺がxのついている項だけになっていたら、右辺に行く時は絶対かけ算か割り算になります。

1次方程式のミスが多かった人は、是非チェックしてみてくださいね。

 

マイナスの分配法則に気をつける

3x-4(2-3x)=7

という方程式を想定します。

まず分配法則を使ってかっこをはずす必要があるのですが、ポイントは「マイナスの分配法則を忘れない」ことです。

この場合、

3x-8+12x=7 となり、

15x=7+8

15x=15

x=1

となります。

ー4(2-3x)の部分は、(-4)×2+(-4)×(-3x)となります。

分配する時は4だけでなく、マイナス毎かけてあげましょう。

 

以上が1次方程式の解き方のポイント解説です!

 

まとめ

1次方程式の利用のポイントは、

・分からないものをxと置いてみる

・xの代わりに1や2など簡単な数字を入れて考えてみる

・何の情報で式を作ろうとしているのか考える

・左辺と右辺が等しくなるように考える

1次方程式の解き方のポイントは、

・項の区切り方を覚える

・マイナスの分配法則に気をつける

です。

定期テストで詰まった時には是非参考にしてみてくださいね!

分かりにくいところ、聞きたいことなどがあったら是非コメントか問い合わせにて連絡ください!

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ABOUTこの記事をかいた人

平成元年生まれ。現在高知県の田舎にあるこだま進学塾を運営中。塾長として地域の子供たちに勉強を教えている。趣味はギター(弾き語り)、バドミントン、漫画、ゲーム。こだま学び舎プロジェクト(KMP)の管理人。